Identidades Trigonométricas Problema resuelto

Problema

Demostrar:

Sug. Puedes usar identidades trigonometricas.

Solución

Podemos demostrar el ejercicio utilizando la fórmula de suma de ángulos pero el problema surge cuando el argumento es grande(hablamos de 5x, 6x, 7x, ...) debido a que el proceso resulta muy engorroso por ello desarrollaremos el ejercicio utilizando números complejos de esta forma fácilmente podremos calcular por ejemplo el sen5x.

Sabemos por este problema que el "seno de x" podemos expresarlo:



También por el Binomio de Newton sabemos:



Ademas podemos generalizar la expresión (i) así:


Procedemos a elevar al cubo ambos miembros de (i):


Aplicando (ii) y lo aprendido en este problema


Acomodamos para obtener expresiones similares a (i) y (iii)




De (i) y (iii)


finalmente:

Para calcular el Sen5x procedemos análogamente:















Finalmente reemplazando (iv) en la expresión anterior:




De esta forma podemos calcular fácilmente el sen4x,sen5x, sen6x, sen7x, sen8x, sen9x, ...

Transformada de Fourier Problema resuelto

Problema

Calcular la TDF de:

Sug. Derivar f(t) y proceder a calcular TDF.

Solución

Nos piden calcular la Transformada de Fourier de:



Para ello procedemos a derivar (i)



Aplicamos la TDF en ambos miembros de la ecuación anterior:



Recordemos las siguientes propiedades de la TDF:



Por tanto aplicando las propiedades en (ii):





Pero:



Esto en (iii):



Efectuando:



Integramos:







Solo nos faltaría hallar la constante c₁, para ello recordemos que:



Pero de (iv) notamos que obtenemos c₁ cuando w=0, es decir:



Evaluando en (v), w=0



De un ejercicio anterior sabemos el valor de la integral, por tanto c₁ será:



Luego de (iv), tendremos:




La gráfica de f(t) es simétrica con forma de campana, conocida como campana de Gauss